حل تمرین4تا7 صفحه 35 حسابان یازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۴ صفحه ۳۵ حسابان یازدهم سلام! این یک اثبات مهم برای استخراج **فرمول فاصله بین دو خط موازی** است. فاصله بین دو خط موازی، برابر با فاصله **هر نقطه دلخواه از یک خط** تا **خط دیگر** است. ✍️ ### گام اول: انتخاب یک نقطه دلخواه روی خط اول خط اول را $d_۱: ax + by + c = ۰$ در نظر می‌گیریم. برای سادگی، یک نقطه روی محور $x$ (یعنی $y_۰ = ۰$) را انتخاب می‌کنیم (به شرطی که $a \ne ۰$). با قرار دادن $y_۰ = ۰$ در $d_۱$: $$ax_۰ + b(۰) + c = ۰ \implies ax_۰ = -c \implies x_۰ = -\frac{c}{a}$$ **نقطه انتخاب شده ($P$)**: $\mathbf{P\left(-\frac{c}{a}, ۰\right)}$ ### گام دوم: محاسبه فاصله $P$ تا خط دوم خط دوم $d_۲$ برابر است با: $ax + by + c' = ۰$. فاصله بین دو خط موازی ($d$) برابر است با فاصله نقطه $P(x_۰, y_۰)$ تا خط $d_۲$: $$\mathbf{d = \frac{|ax_۰ + by_۰ + c'|}{\sqrt{a^۲ + b^۲}}}$$ ### گام سوم: جایگذاری مختصات $P$ در فرمول مختصات $x_۰ = -\frac{c}{a}$ و $y_۰ = ۰$ را در فرمول فاصله جایگذاری می‌کنیم: $$d = \frac{|a\left(-\frac{c}{a}\right) + b(۰) + c'|}{\sqrt{a^۲ + b^۲}}$$ $$d = \frac{|-c + c'|}{\sqrt{a^۲ + b^۲}}$$ ### گام چهارم: ساده‌سازی نهایی چون $|-c + c'| = |c' - c|$ و همچنین $|c' - c| = |-(c - c')| = |c - c'|$ (با استفاده از خاصیت قدر مطلق: $|-A| = |A|$)، فرمول به صورت زیر به دست می‌آید: $$\mathbf{d = \frac{|c - c'|}{\sqrt{a^۲ + b^۲}}}$$ **نتیجه**: فرمول فاصله دو خط موازی ثابت شد.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۵ صفحه ۳۵ حسابان یازدهم در یک دایره، اگر یک خط بر دایره **مماس** باشد، **شعاع دایره ($r$)** که بر نقطه تماس عمود است، برابر با **فاصله مرکز دایره از آن خط** است. ### گام اول: شناسایی پارامترها * **مرکز دایره ($O$):** $(x_۰, y_۰) = (-۱, ۲)$ * **خط مماس:** $۳x + ۴y = ۵$. آن را به فرم استاندارد می‌نویسیم: $۳x + ۴y - ۵ = ۰$. * **ضرایب خط:** $a = ۳$, $b = ۴$, $c = -۵$ ### گام دوم: استفاده از فرمول فاصله نقطه از خط طول شعاع ($r$) برابر با فاصله مرکز $O$ از خط مماس $d$ است: $$\mathbf{r = d(O, d) = \frac{|ax_۰ + by_۰ + c|}{\sqrt{a^۲ + b^۲}}}$$ ### گام سوم: محاسبه طول شعاع پارامترها را در فرمول جایگذاری می‌کنیم: $$r = \frac{|۳(-۱) + ۴(۲) - ۵|}{\sqrt{۳^۲ + ۴^۲}}$$ $$r = \frac{|-۳ + ۸ - ۵|}{\sqrt{۹ + ۱۶}}$$ $$r = \frac{|۰|}{\sqrt{۲۵}}$$ $$r = \frac{۰}{۵} = \mathbf{۰}$$ **نتیجه**: طول شعاع دایره برابر $\mathbf{۰}$ است. این نتیجه یعنی **مرکز دایره دقیقاً روی خط مماس قرار دارد**. بنابراین، دایره در واقع یک **نقطه** (شعاع صفر) است که روی خط $۳x + ۴y = ۵$ قرار دارد.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۶ صفحه ۳۵ حسابان یازدهم این تمرین در مورد **خواص دایره** است. مرکز دایره در مبدأ مختصات $O(۰, ۰)$ قرار دارد و شعاع آن $r=۱۰$ است. نقاط $P$ و $Q$ دو سر قطر دایره هستند. ### الف) مقدار $x$ نقطه $S(x, ۸)$ روی دایره‌ای به مرکز $O(۰, ۰)$ و شعاع $r=۱۰$ قرار دارد. پس فاصله $OS$ برابر $۱۰$ است. $$\text{فاصله } OS = \sqrt{(x - ۰)^۲ + (۸ - ۰)^۲} = ۱۰$$ $$x^۲ + ۸^۲ = ۱۰^۲$$ $$x^۲ + ۶۴ = ۱۰۰$$ $$x^۲ = ۳۶ \implies \mathbf{x = \pm ۶}$$ با توجه به شکل (که $S$ در ربع دوم است)، $\mathbf{x = -۶}$ است. --- ### ب) شیب خط‌های $PS$ و $SQ$ از شکل، نقاط $P$ و $Q$ دو سر قطر هستند. مرکز $O(۰, ۰)$ و شعاع $r=۱۰$ است، پس: $$P = (-۱۰, ۰) \quad \text{و} \quad Q = (۱۰, ۰)$$ نقطه $S$ را $\mathbf{(-۶, ۸)}$ در نظر می‌گیریم. **۱. شیب $PS$ ($m_{PS}$)**: $$m_{PS} = \frac{y_S - y_P}{x_S - x_P} = \frac{۸ - ۰}{-۶ - (-۱۰)} = \frac{۸}{۴} = \mathbf{۲}$$ **۲. شیب $SQ$ ($m_{SQ}$)**: $$m_{SQ} = \frac{y_S - y_Q}{x_S - x_Q} = \frac{۸ - ۰}{-۶ - ۱۰} = \frac{۸}{-۱۶} = \mathbf{-\frac{۱}{۲}}$$ --- ### پ) نشان دهید $\text{P}\hat{\text{S}}\text{Q}$ قائمه است. **قضیه**: زاویه محاطی مقابل به قطر، همواره **قائمه (۹۰ درجه)** است. برای اثبات از طریق هندسه تحلیلی، باید نشان دهیم که خط $PS$ بر خط $SQ$ **عمود** است. اگر دو خط عمود باشند، حاصل‌ضرب شیب‌های آن‌ها برابر $-۱$ است. $$m_{PS} \times m_{SQ} = ۲ \times \left(-\frac{۱}{۲}\right) = \mathbf{-۱}$$ چون حاصل‌ضرب شیب‌ها $-۱$ است، خط $PS$ بر خط $SQ$ عمود است. **نتیجه**: زاویه $\mathbf{P\hat{S}Q}$ قائمه است.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۷ صفحه ۳۵ حسابان یازدهم ما از **فرمول فاصله نقطه از خط** استفاده می‌کنیم و مقدار فاصله داده شده را برابر ۲ قرار می‌دهیم تا $a$ نامعلوم را پیدا کنیم. 🤔 ### گام اول: شناسایی پارامترها و فرمول * **نقطه ($A$):** $(x_۰, y_۰) = (۱, ۲)$ * **خط:** $ax + ۴y = ۱ \implies ax + ۴y - ۱ = ۰$ * **ضرایب خط:** $a$, $b = ۴$, $c = -۱$ * **فاصله ($d$):** $d = ۲$ $$\mathbf{d = \frac{|ax_۰ + by_۰ + c|}{\sqrt{a^۲ + b^۲}}}$$ ### گام دوم: جایگذاری و تشکیل معادله $$۲ = \frac{|a(۱) + ۴(۲) - ۱|}{\sqrt{a^۲ + ۴^۲}}$$ $$۲ = \frac{|a + ۸ - ۱|}{\sqrt{a^۲ + ۱۶}}$$ $$۲ = \frac{|a + ۷|}{\sqrt{a^۲ + ۱۶}}$$ ### گام سوم: حل معادله رادیکالی دو طرف معادله را به توان ۲ می‌رسانیم: $$(۲\sqrt{a^۲ + ۱۶})^۲ = (|a + ۷|)^۲$$ $$۴(a^۲ + ۱۶) = (a + ۷)^۲$$ $$۴a^۲ + ۶۴ = a^۲ + ۱۴a + ۴۹$$ ### گام چهارم: حل معادله درجه دوم همه جملات را به یک طرف می‌آوریم: $$۳a^۲ - ۱۴a + ۱۵ = ۰$$ از فرمول دلتا استفاده می‌کنیم ($a'=۳, b'=-۱۴, c'=۱۵$): $$\Delta = (-۱۴)^۲ - ۴(۳)(۱۵) = ۱۹۶ - ۱۸۰ = ۱۶$$ $$\sqrt{\Delta} = ۴$$ $$a = \frac{-(-۱۴) \pm ۴}{۲(۳)} = \frac{۱۴ \pm ۴}{۶}$$ * **مقدار اول ($a_۱$):** $a_۱ = \frac{۱۴ + ۴}{۶} = \frac{۱۸}{۶} = \mathbf{۳}$ * **مقدار دوم ($a_۲$):** $a_۲ = \frac{۱۴ - ۴}{۶} = \frac{۱۰}{۶} = \mathbf{\frac{۵}{۳}}$ **بررسی اعتبار**: چون در هیچ مرحله‌ای بر عبارتی که صفر شدن آن باعث ریشه زاید شود تقسیم یا ضرب نکردیم و تنها به توان ۲ رساندیم، هر دو جواب قابل قبول هستند. **نتیجه**: مقدار $a$ می‌تواند $\mathbf{۳}$ یا $\mathbf{\frac{۵}{۳}}$ باشد.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۸ صفحه ۳۵ حسابان یازدهم این یک تمرین ترکیبی در هندسه تحلیلی است که هم نیاز به محاسبه **فاصله نقطه از خط** و هم **نقطه وسط** دارد. 📐 --- ### الف) طول عمود از $B$ بر میانه نظیر رأس $C$ **طول عمود** (ارتفاع) برابر با **فاصله نقطه $B$ از خطی است که میانه نظیر $C$ را شامل می‌شود**. **۱. مختصات نقطه وسط ضلع $AB$ ($M$)**: میانه نظیر $C$ از $C$ به وسط $AB$ وصل می‌شود. $M$ وسط $AB$ است: $$M = \left(\frac{-۱۱ + (-۳)}{۲}, \frac{۱۳ + ۳}{۲}\right) = \left(\frac{-۱۴}{۲}, \frac{۱۶}{۲}\right) = \mathbf{(-۷, ۸)}$$ **۲. معادله خط میانه $CM$**: خطی که از $C(۳, ۱)$ و $M(-۷, ۸)$ می‌گذرد. * **شیب $m_{CM}$**: $$m_{CM} = \frac{y_M - y_C}{x_M - x_C} = \frac{۸ - ۱}{-۷ - ۳} = \frac{۷}{-۱۰} = \mathbf{-۰.۷}$$ * **معادله خط $CM$**: با شیب $-۰.۷$ از $C(۳, ۱)$: $$y - ۱ = -۰.۷ (x - ۳) \implies y = -۰.۷x + ۲.۱ + ۱ \implies -۰.۷x - y + ۳.۱ = ۰$$ برای حل ساده‌تر، معادله را بدون اعشار می‌نویسیم (ضرب در $-۱۰$): $$\mathbf{۷x + ۱۰y - ۳۱ = ۰}$$ **۳. فاصله $B(-۳, ۳)$ از خط $CM$**: از فرمول فاصله نقطه از خط استفاده می‌کنیم. * $a=۷, b=۱۰, c=-۳۱$ و $(x_۰, y_۰) = (-۳, ۳)$ $$\text{طول عمود} = \frac{|۷(-۳) + ۱۰(۳) - ۳۱|}{\sqrt{۷^۲ + ۱۰^۲}} = \frac{|-۲۱ + ۳۰ - ۳۱|}{\sqrt{۴۹ + ۱۰۰}}$$ $$\text{طول عمود} = \frac{|-۲۲|}{\sqrt{۱۴۹}} = \mathbf{\frac{۲۲}{\sqrt{۱۴۹}}}$$ --- ### ب) مختصات رأس $D$ برای متوازی‌الاضلاع $ABCD$ در متوازی‌الاضلاع $ABCD$، **قطرها یکدیگر را نصف می‌کنند**. یعنی نقطه وسط قطر $AC$ باید با نقطه وسط قطر $BD$ برابر باشد. **۱. نقطه وسط قطر $AC$ ($M_{AC}$)**: $$M_{AC} = \left(\frac{-۱۱ + ۳}{۲}, \frac{۱۳ + ۱}{۲}\right) = \left(\frac{-۸}{۲}, \frac{۱۴}{۲}\right) = \mathbf{(-۴, ۷)}$$ **۲. نقطه وسط قطر $BD$ ($M_{BD}$)**: فرض می‌کنیم $D = (x_D, y_D)$. $$M_{BD} = \left(\frac{x_D + (-۳)}{۲}, \frac{y_D + ۳}{۲}\right)$$ **۳. برابری مختصات**: $M_{AC} = M_{BD}$: * **برای مختصات $x$**: $$\frac{x_D - ۳}{۲} = -۴ \implies x_D - ۳ = -۸ \implies \mathbf{x_D = -۵}$$ * **برای مختصات $y$**: $$\frac{y_D + ۳}{۲} = ۷ \implies y_D + ۳ = ۱۴ \implies \mathbf{y_D = ۱۱}$$ **نتیجه**: * **طول عمود**: $\mathbf{\frac{۲۲}{\sqrt{۱۴۹}}}$ * **مختصات رأس $D$**: $\mathbf{(-۵, ۱۱)}$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۹ صفحه ۳۵ حسابان یازدهم فرض می‌کنیم نقطه مورد نظر $\mathbf{P(x, y)}$ باشد. چون $P$ روی خط $y=۲x$ قرار دارد، می‌توانیم مختصات آن را به صورت $\mathbf{P(x, ۲x)}$ تعریف کنیم. ### گام اول: تشکیل معادله فاصله * **نقطه $P$**: $(x, ۲x)$ * **مبدأ مختصات ($O$)**: $(۰, ۰)$ * **نقطه $A$**: $(۲, ۴)$ **شرط مسئله**: $\mathbf{d(P, O) + d(P, A) = ۵}$ **۱. فاصله $PO$ ($d_۱$)**: $$d_۱ = \sqrt{(x - ۰)^۲ + (۲x - ۰)^۲} = \sqrt{x^۲ + ۴x^۲} = \mathbf{\sqrt{۵x^۲} = |x|\sqrt{۵}}$$ **۲. فاصله $PA$ ($d_۲$)**: $$d_۲ = \sqrt{(x - ۲)^۲ + (۲x - ۴)^۲}$$ $$d_۲ = \sqrt{(x - ۲)^۲ + (۲(x - ۲))^۲} = \sqrt{(x - ۲)^۲ + ۴(x - ۲)^۲}$$ $$d_۲ = \sqrt{۵(x - ۲)^۲} = \mathbf{|x - ۲|\sqrt{۵}}$$ **معادله نهایی**: $$|x|\sqrt{۵} + |x - ۲|\sqrt{۵} = ۵$$ ### گام دوم: حل معادله قدر مطلقی **۱. ساده‌سازی**: دو طرف را بر $\sqrt{۵}$ تقسیم می‌کنیم: $$\mathbf{|x| + |x - ۲| = \frac{۵}{\sqrt{۵}} = \sqrt{۵} \approx ۲.۲۳۶}$$ **۲. تعیین صفرها**: صفرهای قدر مطلق $x=۰$ و $x=۲$ هستند. * **حالت ۱ ($\mathbf{x < ۰}$)**: * $|x| = -x$, $|x-۲| = -(x-۲) = -x+۲$ * معادله: $(-x) + (-x+۲) = \sqrt{۵} \implies -۲x = \sqrt{۵} - ۲ \implies \mathbf{x = \frac{۲ - \sqrt{۵}}{۲}}$ * **بررسی**: چون $\sqrt{۵} \approx ۲.۲۳۶$， $x \approx \frac{۲-۲.۲۳۶}{۲} \approx -۰.۱۱۸$ است. **$x < ۰$**، پس قابل قبول است. * **حالت ۲ ($\mathbf{۰ \le x < ۲}$)**: * $|x| = x$, $|x-۲| = -(x-۲) = -x+۲$ * معادله: $(x) + (-x+۲) = \sqrt{۵} \implies ۲ = \sqrt{۵}$ * **بررسی**: $۲ \approx ۲.۲۳۶$ **نادرست** است. در این بازه **جوابی وجود ندارد**. * **حالت ۳ ($\mathbf{x \ge ۲}$)**: * $|x| = x$, $|x-۲| = x-۲$ * معادله: $(x) + (x-۲) = \sqrt{۵} \implies ۲x = \sqrt{۵} + ۲ \implies \mathbf{x = \frac{۲ + \sqrt{۵}}{۲}}$ * **بررسی**: $x \approx \frac{۲+۲.۲۳۶}{۲} \approx ۲.۱۱۸$. **$x \ge ۲$**، پس قابل قبول است. ### گام سوم: تعیین مختصات نهایی نقطه $P(x, ۲x)$ است. * **نقطه اول ($P_۱$):** $x_۱ = \frac{۲ - \sqrt{۵}}{۲}$ $$y_۱ = ۲x_۱ = ۲ - \sqrt{۵}$$ $$\mathbf{P_۱(\frac{۲ - \sqrt{۵}}{۲}, ۲ - \sqrt{۵})}$$ * **نقطه دوم ($P_۲$):** $x_۲ = \frac{۲ + \sqrt{۵}}{۲}$ $$y_۲ = ۲x_۲ = ۲ + \sqrt{۵}$$ $$\mathbf{P_۲(\frac{۲ + \sqrt{۵}}{۲}, ۲ + \sqrt{۵})}$$ **نتیجه**: دو نقطه با مختصات فوق، شرط مسئله را ارضا می‌کنند.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱۰ صفحه ۳۵ حسابان یازدهم برای محاسبه طول $MH$ (فاصله بین پای ارتفاع و میانه)، باید مختصات نقاط $M$ (نقطه وسط $BC$) و $H$ (پای عمود از $A$ بر $BC$) را به دست آوریم. --- ### ۱. محاسبه مختصات $M$ (پای میانه $AM$) $M$ نقطه وسط ضلع $BC$ است. از فرمول نقطه وسط استفاده می‌کنیم: $$M = \left(\frac{x_B + x_C}{۲}, \frac{y_B + y_C}{۲}\right) = \left(\frac{۱ + (-۱)}{۲}, \frac{-۱ + ۲}{۲}\right)$$ $$M = \left(\frac{۰}{۲}, \frac{۱}{۲}\right) = \mathbf{(۰, ۰.۵)}$$ --- ### ۲. محاسبه مختصات $H$ (پای ارتفاع $AH$) $H$ نقطه برخورد ارتفاع $AH$ با خط $BC$ است. $AH$ بر $BC$ عمود است. **الف) معادله خط $BC$**: * **شیب $m_{BC}$**: $$m_{BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{۲ - (-۱)}{-۱ - ۱} = \frac{۳}{-۲} = \mathbf{-\frac{۳}{۲}}$$ * **معادله خط $BC$**: با شیب $-\frac{۳}{۲}$ از $B(۱, -۱)$: $$y - (-۱) = -\frac{۳}{۲} (x - ۱) \implies ۲(y + ۱) = -۳(x - ۱)$$ $$۲y + ۲ = -۳x + ۳ \implies \mathbf{۳x + ۲y - ۱ = ۰}$$ **ب) معادله خط $AH$ (ارتفاع)**: * **شیب $m_{AH}$**: چون $AH \perp BC$: $m_{AH} = -\frac{۱}{m_{BC}} = -\frac{۱}{-\frac{۳}{۲}} = \mathbf{\frac{۲}{۳}}$ * **معادله خط $AH$**: با شیب $\frac{۲}{۳}$ از $A(۴, ۲)$: $$y - ۲ = \frac{۲}{۳} (x - ۴) \implies ۳(y - ۲) = ۲(x - ۴)$$ $$۳y - ۶ = ۲x - ۸ \implies \mathbf{۲x - ۳y - ۲ = ۰}$$ **ج) مختصات $H$**: حل دستگاه معادلات $BC$ و $AH$: $$\begin{cases} ۳x + ۲y = ۱ \\ ۲x - ۳y = -۲ \end{cases}$$ (اولین معادله را در ۳ و دومین را در ۲ ضرب می‌کنیم): $$\begin{cases} ۹x + ۶y = ۳ \\ 4x - ۶y = -۴ \end{cases}$$ با جمع دو معادله: $۱۳x = -۱ \implies x_H = \mathbf{-\frac{۱}{۱۳}}$ برای $y_H$: $۳(-\frac{۱}{۱۳}) + ۲y = ۱ \implies -\frac{۳}{۱۳} + ۲y = ۱ \implies ۲y = ۱ + \frac{۳}{۱۳} = \frac{۱۶}{۱۳} \implies y_H = \mathbf{\frac{۸}{۱۳}}$ $$H = \left(-\frac{۱}{۱۳}, \frac{۸}{۱۳}\right)$$ --- ### ۳. محاسبه طول $MH$ از فرمول فاصله دو نقطه $M(۰, ۰.۵) = (۰, \frac{۱}{۲})$ و $H(-\frac{۱}{۱۳}, \frac{۸}{۱۳})$ استفاده می‌کنیم: $$MH = \sqrt{(x_H - x_M)^۲ + (y_H - y_M)^۲}$$ $$MH = \sqrt{\left(-\frac{۱}{۱۳} - ۰\right)^۲ + \left(\frac{۸}{۱۳} - \frac{۱}{۲}\right)^۲}$$ $$MH = \sqrt{\left(\frac{-۱}{۱۳}\right)^۲ + \left(\frac{۱۶ - ۱۳}{۲۶}\right)^۲}$$ (مخرج مشترک برای $y$: ۲۶) $$MH = \sqrt{\frac{۱}{۱۶۹} + \frac{۳^۲}{۶۷۶}} = \sqrt{\frac{۱}{۱۶۹} + \frac{۹}{۶۷۶}}$$ $$MH = \sqrt{\frac{۴}{۶۷۶} + \frac{۹}{۶۷۶}} = \sqrt{\frac{۱۳}{۶۷۶}}$$ $$\text{چون } ۶۷۶ = ۲۶^۲ \text{ و } ۱۳ = \sqrt{۱۳}^۲ ext{ است:}$$ $$MH = \frac{\sqrt{۱۳}}{\sqrt{۶۷۶}} = \frac{\sqrt{۱۳}}{۲۶}$$ **نتیجه**: طول $MH$ برابر $\mathbf{\frac{\sqrt{۱۳}}{۲۶}}$ است.